Visar alla blogginlägg med kategorin:
Matematik

En metod för kollegial bedömningsträning

Vad är skillnaden mellan att ”föra ett resonemang” och att ”föra ett resonemang framåt”? Kan du svara på den frågan? Det kan du testa dig själv på i slutet av detta blogginlägg. Det står nämligen på två olika ställen i kunskapskraven i matematik. Och mer specifikt undrar jag: vad är skillnaden mellan de båda A-nivåerna att ”fördjupa eller bredda ett resonemang” och att ”föra välutvecklade resonemang”?

Detta är några av problemen som jag och mina kollegor mötte när vi skulle träna på sambedömning. Vi hade även problem med att se skillnaden mellan C och A för de båda delarna. Vad är det för skillnad på att ”föra resonemanget framåt” på C-nivå, och ”fördjupa eller bredda resonemang” som det står på A-nivå? Vad är det för skillnad på att föra ”utvecklade resonemang” på C-nivå, och ”välutvecklade resonemang” som det står på A-nivå?

Detta blogginlägg handlar om hur jag och mina kollegor besvarade dessa frågor tillsammans genom sambedömning.

Men först vill jag berätta vad som gjorde att det blev en stark upplevelse för mig. Det var hur vi alla agerade i processen. Så fort vi var oense, eller när någon av oss blev osäker eller inte förstod, så släppte vi inte det, utan gick till botten med allt. Vi fortsatte att vända och vrida på detaljer och ordval tills vi var säkra på att vi förstod varje ord och var helt överens. Vi lät det ta tid.

Två olika delar av kunskapskraven

De två delar av kunskapskraven i matematik år 6 som det handlar om är:

I beskrivningen kan eleven (…) föra enkla / utvecklade / välutvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra.

och

I redovisningar och samtal kan eleven föra och följa matematiska resonemang genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt / för resonemanget framåtför resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.

Dessa formuleringar säger mig ingenting. Därför behövs en djupare analys. Antingen läser man den analys som Skolverket gjort, och kanske kan ta till sig den. Eller så låter man sin egen hjärna genomföra analysen, vilket är mycket bättre. Det gjorde vi. Man lär sig bättre om man tvingas tänka. Vi utgick från Skolverkets material ”Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik del 2”. Där finns bra uppgifter, autentiska elevexempel, bedömning av dem och en djup analys av kunskapskravens innebörd. Men hur många gånger jag än läst detta material, så var det ändå till slut det kollegiala samarbetet som gjorde att jag förstod på riktigt.

Såhär gjorde vi

I korthet gjorde vi så här.

  1. Räkna uppgiften själva och skriv ner lösningar.
  2. Klipp ut de tre elevlösningarna, lägg upp på bordet (en av oss gjorde det, så att de övriga inte skulle se den rätta bedömingen i förväg)
  3. Rangordna lösningarna först, och sedan betygsätt dem (E, C, A).
  4. Peka ut vad i respektive lösning som är tecken på E, C, A.
  5. Jämför den egna bedömningen med Skolverkets bedömning i kommentarmaterialet.
  6. Skriv en egen matris och formulera nivåerna E, C och A med egna ord.
  7. Kamratbedöm varandras lösningar.
  8. Planera en lektionsserie för att genomföra samma process med elever, med syftet att de ska få verktyg att utveckla sitt sätt att lösa problem.

Vi har hittills hunnit till punkt 6.

Vi började med vad det betyder att föra ett resonemang framåt, alltså att fördjupa eller bredda resonemang. Vi letade i elevexemplena efter tecken på fördjupning och breddning, vilket var svårt. Kan det räcka med att lägga till en beräkning? Vi kunde heller inte hitta några belägg för C-nivå. Därför hade vi svårt att se skillnaden mellan C och A. Därför utgick vi från det vi visste genom bedömning av resonemang i NO, svenska, teknik mfl ämnen, att E-nivån för att föra ett resonemang framåt är att påstå något, då tillför man ju något genom att ge övriga något att ta ställning till. C-nivå är att även motivera varför man tycker så, alternativt motivera varför man inte håller med andra. Kvar har vi alltså: vad i 17 är då A-nivån, att fördjupa? I de övriga ämnena är det att tillföra nya perspektiv, eller tillföra ny fakta. Det är inte så lätt att översätta det till matematiskt agerande. Vad skulle det vara för fakta? Jo, det måste ju ha att göra med uppgiften, alltså vara relevant för den motiveringen man just lagt fram. Alltså att bevisa att motiveringen för mitt påstående faktiskt är sant, att det är giltigt. Tex genom ett bevis, en beräkning, en matematisk sats, eller ett logiskt resonemang.

Sedan försökte vi förklara vad det betyder att föra ett resonemang. Det var lättare att veta, för vi har sett det i rättningsmallen till nationella prov att det handlar om att visa en logisk tankekedja, utan luckor. Att en sak leder till en annan, som leder till en tredje, i en obruten logisk kedja. Det kan vara muntliga resonemang eller beräkningar, det beror på frågans karaktär. Det var dock inte lätt att se det i elevlösningarna. Därför tog det en bra stund att verifiera att vår tolkning är korrekt. En sak vi diskuterade länge var huruvida det är E i resonemang att endast påstå något. Jag hävdar att det är det. Har jag fel?

Vårt resultat

Vårt svar på de inledande frågorna är alltså:

Att föra ett resonemang =

Detta handlar om att beskriva en logisk tankekedja där en sak leder till en annan utan logiska luckor.

E är ett led, C är två led, A är tre led utan luckor i tankekedjan.

Att föra ett resonemang framåt =

Detta handlar om påståenden och om att visa att de är giltiga.

E är att påstå, C är att motivera påståendet, och A är att bevisa att motiveringen faktiskt är giltig, att bevisa att det är sant.

Vi gjorde en bedömningsmatris av resultatet. Den kommer vi använda i undervisningen.

IMG_0382

Vi var inte helt överens om vad ett led är; om ett led är ”kopplingen” mellan två påståenden, eller om ett påstående är ett led. Vi valde det sistnämnda, eftersom vi sett det i rättningsmallen på nationella prov.

Är det inte samma sak?

De båda raderna ser ju lite lika ut, eller hur? Om en har bevisat sin motivering, har man då automatiskt ett resonemang på A-nivå? Nej, påstår jag, eftersom ett bevis kan vara giltigt även med en lucka. Därför måste den logiska tankekedjan bedömas separat. Alltså är det två olika aspekter att bedöma.

Testa dig själv!

Kolla på elevexemplena nedan. Var i lösningarna ser du en logisk tankekedja (alltså att föra ett resonemang)? Var i lösningarna ser du en motivering (alltså att föra resonemanget framåt)?

(Uppgiften är ut kommntarmaterialet, och går ut på att beräkna femhörningens omkrets. Givet är att kvadratens sida är 6 cm, att triangeln är likbent, och att kvadraten och triangeln har samma omkrets.)

IMG_0378

IMG_0381

Tack för mig, men framförallt, tack för mina grymma kollegor!

Mvh Tommy Lucassi


Träna att välja rätt metod

Jag har tidigare bloggat om ”28 formativa fraser”  där jag ville få elever att kunna säga: ”jag har två metoder, men de räcker inte för att lösa alla uppgifter”. Eller: ”jag vet vilka metoderna är, men jag kommer inte riktigt ihåg hur man gjorde”. Eller: ”jag kan två metoder, men jag vet inte när jag ska välja den ena eller andra”. Detta blogginlägg visar ett lektionsupplägg som fick mina elever att prata just så.

En skicklig matematiker har många verktyg för att lösa matematiska uppgifter. Alla elever kan peka ut vem som är ”bäst i klassen” i matte. Många tror tyvärr att de inte kan bli så bra. Men den duktiga eleven sitter inte och väntar på att en färdig lösning ramlar ner i huvudet, utan hen utför ett antal beräkningar i en viss ordning. Det kallas strategier och metoder. Om vi kan synliggöra de strategierna och metoderna, så kan alltså vem som helst se dem, träna på dem och göra dem till sina.

Högsta kvalitet i matematik gällande metoder i årskurs 6 enligt kunskapskraven lyder : ”Eleven kan välja och använda ändamålsenliga och effektiva matematiska metoder med god anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar och lösa enkla rutinuppgifter…”

Om vi ska bedöma hur de väljer metoder, måste de få en rimlig chans att öva. Eleverna behöver kunna flera OLIKA metoder, NÄR de är lämpliga att använda och VARFÖR. De behöver lära sig att titta på siffrorna i uppgifterna och utifrån det välja lämplig metod. Men för att uppnå det, måste de få TRÄNA PÅ JUST DET, och inte bara på att lösa uppgifter.

Här är lektionsupplägget. Det gäller addition och subtraktion med decimaltal.

Steg 1: eleverna fick lösa ett antal rutinuppgifter enskilt, av typen 6,5 – 3,8 eller 7,74 + 11,89.

Steg 2: i grupper om 3 visade de sina metoder för varandra.

Steg 3: De redovisade lösningarna, och vi namngav alla metoder som dykt upp. (vi hittade tex Taluppdelning, Uppställning, Räkna nerifrån, Samma talsort, Flytta-över-metoden, Lika tillägg)

Steg 4: eleverna gjorde en “halvtids-check” med 10 uppgifter, 5 addition och 5 subtraktion, (av samma typ som ovan) för att se vad som fastnat hittills. (ej betygsgrundande). Talen (jag menar talen, inte uppgifterna) var valda så att olika metoder skulle behöva användas till olika uppgifter.

Steg 5: jag rättade och gav individuell feedback (genom att kryssa i en matis samt kryssa förskrivna förslag på träning) som fanns på baksidan av testet.
Som pdf: Blankett med matris, feedback och självskattning pdf  Eller som wordfil: Blankett med matris, feedback och självskattning

Steg 6: jag lade upp youtube-klipp: ett där jag räknar och visar hur metoderna används, och ett där jag räknar och förklarar varför jag väljer de olika metoderna. Jag filmar rakt ner i räknehäftet när jag räknar och pratar.

Youtubeklipp: Använda metoder och Välja rätt metod.

Steg 7: eleverna övar individuellt på det som de behöver, ca 3 lektioner. De väljer bland sidor i boken och andra övningsblad jag kopierat upp.

Steg 8: ny check för att se vad de nu kan (betygsgrundande). Har inte gjort det än, men jag lovar att äta upp mina galoscher om de inte förbättrat sig från check 1 till check 2.

Eleverna började direkt efter feedbacken på steg 5 ropa ut saker som: “Jag behöver en till metod!”. Eller “Jag måste öva mer på denna metoden, jag kan ju den nästan”. Eller “Jag kan alla metoder, men hur ska jag förklara varför jag väljer dem?”

Att det fungerade beror på att elever är intelligenta och vill lyckas. De vill visa oss att de förstått och att de kan. Det sker när vi är tydliga med vad vi vill att de ska utföra, och när de får träna på exakt det vi vill att de ska utföra.

Vad vill du att dina elever ska kunna utföra? Och hur tänker du träna dem i det?

Mvh Tommy Lucassi, @MatteTommy på Twitter.

Förslag på fraser för feedback

Detta är två exempel på feedback som jag skrivit i mina sexors omdömen. Två förmågor, och feedbacken till eleven hur hen kan gå tillväga för att förbättra respektive förmåga.

Detta är, slår det mig nu, inte bara förslag på fraser för feedback, utan även förslag på två lektioner.

Ge mig gärna feedback på om följande förslag på fraser för feedback fungerar:

 

Detta kan du utveckla

PROBLEMLÖSNING

Att använda strategier som löser olika sorters problem

 

UTTRYCKSFORMER (hur man skriver och visar lösningar)

Att anpassa uttrycksformen så att den passar uppgiften

 

Så här kan du göra för att träna det (=feedback)

E –> C

PROBLEMLÖSNING

Använda strategier: Ta reda på två olika strategier. Testa dem på olika uppgifter för att se när de passar bäst. Vilken var bäst? Träna på den om det behövs. Du behöver alltså flera olika uppgifter att träna på.

UTTRYCKSFORMER:

Anpassa uttrycksformer (hur man skriver och visar lösningar): Välj en uttrycksform, tex visa i tabell eller visa med algebra. Testa den på en problemlösning.  Gör samma problem en gång tilll, fast testa att förändra något i din uttrycksform. Om du inte själv vet hur, samarbeta med kompisar och byt uttrycksformer med varandra.

 

 C –> A

PROBLEMLÖSNING

Använda strategier: Ta reda på två olika strategier. Testa dem på olika uppgifter för att hitta en som passar på alla uppgifter. Använd den strategin. Träna på den om det behövs.

 

UTTRYCKSFORMER

Anpassa uttrycksformer (hur man skriver och visar lösningar): Välj en uttrycksform. Testa den på en problemlösning.  Undersök om den går att förbättra så att den verkligen visar det som står i uppgiften. Jämför med andra för att hitta det bästa sättet att uttrycka lösningen.

Mvh Tommy Lucassi, @MatteTommy på Twitter.

 

Feedback till mig från undervisningen

Jag som trodde att bedömningen löst de flesta av mina planeringsproblem. För sjutton, det är ju nu jobbet börjar:

Istället för läxa: här är övningarna!

Här kommer övningarna som utlovades i gårdagens blogginlägg. Det är ett word-dokument som du får redigera och använda som du vill. Det är alltså en metod för att jobba med gångertabellträning på lektionerna istället för som läxa, som jag anser inte fyller sitt syfte. Argumentet för det, som är mycket viktigt, läser du om i det tidigare inlägget.

Klicka här: Gångertabellen på 5 veckor

 

Tillägg 13 dec: pdf:er

Håll tillgodo!

Ge inte gångertabell-läxa!

Jag ska dela med mig av en metod som är bättre än läxa. Det gäller en av de två vanligaste och mest accepterade läxorna: gångertabellträning (den andra är glosor i engelska). Jag ska förklara varför den läxan är dåligt investerad tid. Debatten är het om läxor, men få frågar varför vi ska ge dem överhuvudtaget. Jag tänker visa varför och hur de kan göras på lektionstid. Alla uppgifter som är viktiga i ett ämne borde ha en given plats på lektionen och utföras med samma förberedelser och planering som andra viktiga inslag i vår undervisning.

Mattelärare ger ofta läxor i gångertabellträning. Två skäl brukar anges: det är en uppgift som eleverna kan utföra själva hemma, och det är viktigt att kunna gångertabellen utantill. Båda påståendena än korrekta, men lurar oss att dra den felaktiga slutsatsen att det är bra att ge det som läxa. Ekot i p1 idag nämnde en sak som viktig för inlärningen: ”stöd och stimulans från kunniga och engagerade lärare”. Därför tänker jag nu beskriva en tidseffektiv metod för att träna in gångertabellen på lektionstid, där jag kan vara aktiv. Tärningsspel och lekar är kuriösa inslag i den träningen, men det behövs en metod som snabbt och tidigt i grundskolan sätter fast gångertabellen i huvudet en gång för alla. Metoden är tagen ur boken ”Huvudräkning” av Wiggo Kilborn. Grymt bra bok, för övrigt.

Så här går det till.

Träningen sker några minuter i början av varje lektion. Det upprepas tills eleven kan upp till och med 9×9, vilket brukar ta 5-6 veckor. Man tar inte en tabell i taget utan istället gör man så här. Steg 1: upp till och med 4×4. Steg 2: upp tom 6×6. Steg 3: upp tom 7×7. Steg 4: upp tom 8×8. Steg 5: upp tom 9×9. Man går vidare till nästa steg först när man kan innevarande steg utantill. Det avgörs genom ett litet test.

Hjälpmedel: en fusktabell i form av ett klassiskt koordinatsystem med 10×10 rutor med svaren i varje ruta. MEN! Den ser olika ut för olika steg. Steg 1: fullständigt ifylld. Steg 2: tomt i rutorna upp tom 4×4, alltså det som lärdes i steg 1, dessa ska ju eleven kunna utantill. Steg 3: tomt i rutorna upp till 6×6, osv till steg fem, där endast 9:ans rad och kolumn är ifyllda och resten tomt.

Eleven börjar varje lektion med ca 3 minuter träning i form av ca 20 uppgifter av typen 1 ∙ 4 = …  3 ∙ 3 = …  4 ∙ 4 = … osv. Detta brukar ta 3-4 lektioner á ca 3 minuter. Man får absolut inte använda fingrar eller addera sig fram till svaret. Om man inte kan utantill, ska man titta i fusktabellen. När eleven är redo, avslutas steget med ett test med uppifter upp till och med 4×4, UTAN fusktabell. Om man klarar det testet går man vidare till steg 2, annars träna mer tills testet klaras utantill. Så håller man på upp till om med 9×9. Detta arbete brukar ta 5-6 veckor, några minuter per lektion. Otroligt effektivt. (Jag har gjort ett material som jag kan lägga upp här om någon är intresserad.)

Fördelen att göra det på lektioner istället för som läxa är att vi kan kontrollera att eleverna inte räknar på fingrar eller adderar. Vi vet att eleverna väldigt, väldigt, väldigt gärna vill använda fingrar eller addera, vilket de gör hemma, och då blir träningen helt bortkastad. De förstår kanske inte varför, men jag gör det. Därför vill jag inte ha gångertabellträningen som läxa. Därför har denna läxa nästan alltid försumbar effekt på elevernas kunskaper i matematik.

Jag är emot rutavdrag för läxhjälp, eftersom jag är emot läxor. Så länge som min undervisning är ett mycket bättre alternativ.

Hej då.

Tillägg okt -16: Övningarna

Kladdpapper = fet matematik

—Släng inte dina kladdpapper!

—Varför då?

—Där finns ju dina idéer, tankar och prövningar. Det är ju det som är den fetaste matematiken!